Obligates Video von Steve Mould: https://youtu.be/1uEmX5XClPY

Hmm, was du beschreibst lässt sich wahrscheinlich auf eine ganze Reihe von möglichen Fehlern in der Elektroinstallation zurückführen. Ich weiß nicht ob ich dazu raten möchte da rumzubasteln. Es gibt auf jeden Fall LED Leuchtmittel, die empfindlicher oder weniger empfindlich gegenüber Leckströmen sind. An deiner Stelle würde ich ein paar Leuchtmittel testen oder einfach wieder die Glühbirne einsetzen.

Wie ist sie denn ausgeschaltet? Mit nem Kippschalter an der Wand oder anders?

Hier ist tschechischer Elektrotechniker. Für mich wäre die einfachste Lösung, einen 1 MΩ Widerstand an Kontakte einer der Fassungen zu anschließen. Viele Glühbirne haben aus diesen Grund einen schon eingebaut (normalerweise parallel zur LED-Kette). Bei eingeschaltene Glühbirne wird er nur 0.05 W konsumieren und der niedrige Parasitkapazitätstrom wird dadurch statt LEDs gelitten, denn die Spannung im Fassung wird von ihm runtergebracht. Der Strom von kapazitätiver Kopplung ist wegen hohe Impedanz nur ein paar μA, die Spannung ist aber bis zu Netzspannung ~230 V. Das genügt, die LEDs sichtbar leuchten. Nach Ohmschen Gesetz wird mit einem 1 MΩ Widerstand die Spannung zu ein paar Volts runtergebracht, was genügt nicht, die LED-Kette (typisch mehr als 30x LED-PN-Übergang von ca. 3 V, also 100+ V).

Die andere, mehr komplizierte Lösung wäre ein Umschalter, der solchen Widerstand nur bei ausgeschaltenen Licht zur Fassung parallel anschließt, siehe Bild. Das funktioniert aber nur mit einem einzigen Schalter und ich schätze, es ist das nicht wert.

...Grau, denn du Tag- oder Nachtmodus verwenden kannst.

Im Bild siehst du auch die Schaltung, die sich am wahrscheinlichsten in der Glühbirne befindet. Als Elektrotechniker würdest du sehen, warum der Strom aus einer Hochimpedanz-Netzspannungsquelle (wie Kopplung im Schalter oder bei beieinendergelegte Drahte durch Parasitkapazität) durch den LEDs gelitten sein muss, wenn es keine andere Strecke gibt.

Wird das Energie sparen? Kurz gesagt: Wahrscheinlich.
Werden die Glühbirnen mehr als erwartet funktionieren? Definitiv.

Der Bewegungsmelder wurde vermutlich direkt in den lampenkreislauf eingeschleift und hat keine unabhängige Spannungsversorgung. Damit der Bewegungsmelder sich selbst mit Energie vorsorgen kann, muss deshalb ein gewisser kleiner Strom auch durch das Leuchtmittel fließen. Bei Glühlampen ist das nicht aufgefallen, weil der Strom nicht ausgereicht hat, was zum Glühen zu bringen. Die Birne wurde dadurch vielleicht handwarm, das war alles. Nachdem LEDs oft weniger als ein zehntel der Leistung einer Glühbirne benötigen, tritt der Effekt da deutlicher zu Tage.

Du hast die freie Energie entdeckt! Diese Gottes-Energie überall verfügbar ist, und: sie ist kostenlos, weil sie umsonst ist (hab ich letztens gelernt)! /s für die ganz schlauen

Zwei Faktoren spielen eine Rolle:

1. LEDs sind extrem effizient (und die gewählte Lampe hat vmtl. keine Vorschaltelektronik).
2. Es gibt ein Kabel was zum Schalter hin und zurück führt (und dadurch eine Kapazität bildet)

Um das einfach zu lösen kann entweder eine andere LED Lampe mit Vorschaltelektronik verwenden oder man freut sich über das ungewünschte Nachtlicht weil: Funfact: Die Glühlampe, von davor, war genau so die ganze Zeit - unsichtbar - an.